Galois, la théorie des groupes et le potlatch de la Création

L’article qui suit est essentiellement composé de citations tirées de l’ouvrage La Philosophie de l’Algèbre de Jules Vuillemin, tirées de la fin de la première partie. L’idée est de mettre en perspective sa présentation de la théorie de Galois et des groupes dans l’optique de la Création.

Citation 1:

L’idée de corps introduit en mathématiques la représentation d’un système des nombres « fermé » pour les quatre opérations rationnelles.

Citation 2:

Galois a déplacé l’intérêt de l’Algèbre: alors que celle-ci se proposait essentiellement de résoudre les équations, elle tend désormais à rechercher la nature des grandeurs qu’il faut adjoindre aux corps de base pour déterminer le corps factorisant à l’intérieur duquel il devient possible d’exprimer et de connaître rationnellement les racines

Citation 3:

Galois a eu l’idée d’articuler la notion de domaine de rationalité et de l’analyser en une série éventuelle de corps emboîtés les uns dans les autres, entre le corps minimal absolu Q des rationnels et le corps factorisant minimal regardé, dans cette suite, comme corps minimal naturel.

Citation 4:

Les notions de corps et de domaine de rationalité sont un exemple typique d’une notion critique en Algèbre. A la différence de ce qu’impliquait le rêve cartésien de la facilité dans la résolution et en opposition avec la naïveté qui se trouvait au principe des absolus ou natures simples que Descartes mettait à l’origine de l’Algèbre, nous apercevons le caractère relatif d’une notion, mais, en même temps, ce caractère relatif manifeste son objectivité. La résolubilité est un lien entre un certain individu algébrique – l’équation algébrique – et son « milieu », le corps auquel on la rapporte arbitrairement ou selon sa nature propre.

–> cf Kronecker, double limitation à l’arbitraire des adjonctions dans les corps algébriques qui l’objective: 1. Le nouvel élément doit incorporer l’expression rationnelle de toutes les grandeurs 2. Limitation naturelle du corps Q des rationnels

Citation 5:

…la mathématique classique définit un objet indépendamment de la réflexion, et la mathématique moderne intériorise cette réflexion dans ses propres procédés.

Vuillemin montre dans un premier temps, donc, comment Galois fait passer l’Algèbre (et les mathématiques plus généralement) de l’ère classique à l’ère moderne en décrivant le basculement de l’intérêt envers l’objet et ses méthodes de résolutions, vers l’intérêt envers la structure qui permet la résolution de l’objet inconnu. Il parle de méthode génétique et de méthode générale, la distinction n’étant pas similaire à l’induction et la déduction comme j’ai été tenté de le penser dans un premier temps. La méthode génétique procède par cas particuliers qui finissent par former a posteriori un cadre de problèmes aux résolutions similaires. La méthode générique développe une structure résolutionnelle qui englobe tous les cas a priori.

Citation 6:

…le rôle fondamental des intuitions est de communiquer aux catégories une structure de groupe. Cette structure, par son principe de symétrie, est seule susceptible d’ajouter la réalité aux concepts logiques. Tel est le principe fondamental de la philosophie critique

–> cf Kant qui admet la non-réalité de l’espace à Leibniz mais reste du côté de Clarke/Newton pour l’aperception sensible des objets de l’espace

Citation 7:

La théorie des groupes (…) permet (…) de lier le pouvoir qu’ont les concepts de conditionner le divers qu’ils subsument et celui (…) de déterminer de l’intérieur ce divers lui-même.
Hermann Weyl fait remarquer que si Clarke a raison d’affirmer la contingence des lois de la nature, Leibniz est fondé à utiliser la symétrie comme preuve de la relativité. Un individu ne peut être défini absolument comme tel, mais il est intelligible dans la mesure où il est discernable d’autres individus, et cette discernabilité, à son tour, est relative à un groupe d’opérations, par rapport auquel il demeure invariant seul parmi d’autres objets.
La relativité de l’invariance est aussi le critère auquel on reconnaît le caractère méthodique de la Théorie des groupes. Plus le groupe d’invariance d’un individu est grand, plus l’individu défini est « particulier ». Plus le groupe d’invariance est petit, plus aussi l’individu concerné est « général ». Lorsque ce groupe est le groupe de toutes les permutations, l’individu est défini en lui-même de façon entièrement intelligible (…)
La théorie de Galois a montré comment on passe de façon réglée et nécessaire des représentations générales aux individus. La méthode des résolvantes fournit en effet un procédé entièrement a priori pour construire les individus, à partir d’un état d’indistinction primitif. Dans cette mesure, le principe d’individuation (…) est contenu dans les notions relatives d’invariance et de groupe.

Citation 8:

Nous sommes donc fondés à distinguer deux sortes d’abstractions. La première est empirique et matérielle. Elle sert par exemple à classer les êtres vivants. La seconde est structurale et sa meilleure illustration est la Théorie des groupes. Elle peut être appelée, avec plus de précision, formalisation, parce qu’elle ne dégage les structures de la gangue des problèmes individuels qu’à la condition d’abstraire deux fois: elle porte et sur les éléments du groupe, qu’on remplace par des symboles entièrement formels et sur les opérations mêmes, qui d’ailleurs viennent se confondre avec ses éléments. Et, cette formalisation opérée, une méthode est donnée qui permet de construire les individus, non plus dans l’intuition suivant des schèmes imparfaits, mais dans les concepts eux-mêmes, de façon entièrement a priori et générale, sans faire appel désormais à aucun donné, sans rien devoir désormais à aucun bonheur.

Comprendre: nulle contingence heureuse qui se serait donnée comme donnée. Sans tendre au blasphème, on est en présence d’une simulation idéale du pouvoir de création du Démiurge.

–> De manière ironiquement symétrique, les invariants forment aussi la base méthodologique des simplifications opérationnelles, de la fonctionnalisation des schémas qui prennent vie à côté des individus. Comme Mandelbrot le souligne dans The Misbehaviour of Markets, les symétries récursives de la nature permettent de donner une représentation contingente très fidèle de celle-ci et de remplacer l’objet de spéculation originel par un schéma computationnel humain. La symétrie démiurgique offerte sans contrepartie a été réappropriée aux mains d’individus qui de leurs invariants hypertrophiés ont su créé une hypostase rentable du don, réductible à l’infini pour encore poser des questions de nature sotériologique. Encore un don dans la transformation du don, un potlatch qui de nous à nous, nous coûte plus cher que la somme de tous les éléments intelligibles qui nous constituent.

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